Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直

Answer 1

1、∵E是PC中点,F是AC的中点,∴EF是△PAC的中位线,∴EF//PA,∵PA∈平面PAD,∴EF//平面PAD,（直线平行于两面内的直线则必平行于该平面）.2、取AD中点M,连结PM,PM是△PAD的中线,∵PA=PD=√2a/2,∴△PAD是等腰△,∴PM⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PM⊥平面ABCD,（二平面垂直,若一平面内直线垂直交线,则垂直另一平面）,∵CD∈平面ABCD,∴PM⊥CD,∵ 四边形ABCD是正方形,∴CD⊥AD,∵AD∩PM=M,∴CD⊥平面PAD,∵PA∈平面PAD,∴CD⊥PA,在△PAD中,PA^2+PD^2=a^2/2+a^2/2=a^2,AD^2=a^2,∴根据勾股定理逆定理,△PAD是RT△,∴PA⊥PD,∵PD∩CD=D,∴PA⊥平面PDC,∵PA∈平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD,证毕.