Question

利用函数的定义求y=x的三次方在x=x0处的导数,并且曲线y=x的三次方在x=x0处切线与曲线y=x的三次方的交点

Answer 1

f'(x0)=lim(Δx-->0)Δy/Δx

=lim(Δx-->0)[(x0+Δx)³-x0³]/Δx

=lim(Δx-->0)[x0³+3x0²Δx+3x0Δx²+Δx³-x0³]/Δx

=lim(ΔX-->0)(3x0²+3x0Δx+ΔxΦ)

=3x0

曲线y=x³在x=x0处切线的斜率k=3x0

切点为(x0,x0³)

切线方程y-x0³=3x0²(x-x0)

与y=x³联立

x³-x0³=3x0²(x-x0)

(x-x0)(x²+x0x+x0²)=3x0²(x-x0)

(x-x0)(x²+x0x-2x0²)=0

x=x0或x²+x0x-2x0²=0

x=x0或x=-2x0

∴切线与曲线y=x的三次方的交点

(x0,x0³)和(-2x0,-8x0³)