Question

利用基本不等式证明：根号a²+b²≥2分之根号2（a+b)

Answer 1

证明：

∵a^2+b^2≥2ab

∴(1/2)a^2+(1/2)b^2≥ab(不等号左右两边同时除以2)

∴a^2+b^2≥(1/2)a^2+(1/2)b^2+ab(不等号左右两边同时加上(1/2)a^2+(1/2)b^2)

∴a^2+b^2≥(1/2)(a^2+2ab+b^2)(不等号右边提出公因数1/2)

∴a^2+b^2≥(1/2)(a+b)^2(对不等号右边进行整理)

∵a^2+b^2≥0,(1/2)(a+b)^2≥0(平方数是非负数)

∴√(a^2+b^2)≥√[(1/2)(a+b)^2]=[(√2)/2](a+b)(不等号两边取算术平方根).