★ 关于辗转相除法,搜了一下,在我国古代的《九章算术》中就有记载,现摘录如下:
约分术曰：“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”
其中所说的“等数”,就是最大公约数.求“等数”的办法是“更相减损”法,实际上就是辗转相除法.
辗转相除法求最大公约数,是一种比较好的方法,比较快.
对于52317和75569两个数,你能迅速地求出它们的最大公约数吗?一般来说你会找一找公共的使因子,这题可麻烦了,不好找,质因子大.
现在教你用辗转相除法来求最大公约数.
先用较大的75569除以52317,得商1,余数23252,再以52317除以23252,得商2,余数是5813,再用23252做被除数,5813做除数,正好除尽得商数4.这样5813就是75569和52317的最大公约数.你要是用分解使因数的办法,肯定找不到.
那么,这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢?下面我就给大伙谈谈.
比如说有要求a、b两个整数的最大公约数,a＞b,那么我们先用a除以b,得到商8,余数r1：a÷b＝q1…r1我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式：a＝bq1＋r1------l）
如果r1＝0,那么b就是a、b的最大公约数3.要是r1≠0,就继续除,用b除以r1,我们也可以有和上面一样的式子：
b＝r1q2＋r2-------2）
如果余数r2＝0,那么r1就是所求的最大公约数3.为什么呢?因为如果2）式变成了b＝r1q2,那么b1r1的公约数就一定是a1b的公约数.这是因为一个数能同时除尽b和r1,那么由l）式,就一定能整除a,从而也是a1b的公约数.
反过来,如果一个数d,能同时整除a1b,那么由1）式,也一定能整除r1,从而也有d是b1r1的公约数.
这样,a和b的公约数与b和r1的公约数完全一样,那么这两对的最大公约数也一定相同.那b1r1的最大公约数,在r1＝0时,不就是r1吗?所以a和b的最大公约数也是r1了.
有人会说,那r2不等于0怎么办?那当然是继续往下做,用r1除以r2,……直到余数为零为止.
在这种方法里,先做除数的,后一步就成了被除数,这就是辗转相除法名字的来历吧.