Question

已知二次函数y=（n-1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上，

Answer 1

解题思路：（1）根据函数的顶点坐标在x轴上，可以知函数顶点的纵坐标为0，然后求出（n-1）的范围，从而求解．

（2）已知函数的解析式为y=m²x²+2（n-1）x-1，根据判别式△与0的关系，来判断函数与x轴交点的个数．

（1）∵二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上，

∴函数顶点的纵坐标为0，

∴

4ac−b2

4a=

4(n−1)−4m2

4(n−1)=0，

∴4（n-1）-4m²=0，

∴（n-1）=m²≥0，

∴函数开口方向向上；

（2）∵函数顶点的纵坐标为0，

∴4（n-1）=4m²，

∵△=（2n-2）²-4m²（-1）=4（n-1）²+4m²=4m⁴+4m²，

∴△＞0，

∴函数y=m²x²+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点．

点评：

本题考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．

考点点评： （1）第一问主要考查函数的基本性质及顶点坐标公式，函数开口的方向，比较简单；

（2）第二问主要利用根的判别式来求解，要利用第一问的结论，计算要仔细．