Question

已知函数 g(x)= 4 x -n 2 x 是奇函数，f（x）=lg（10 x +1）+mx是偶函数．

Answer 1

（1）∵g（x）为奇函数，且定义域为R∴g（0）=

1-n

1 =0，解得n=1

∵f（x）=lg（10 ^x+1）+mx是偶函数．

∴f（-x）=lg（10 ^-x+1）-mx= lg

10 x +1

10 x -mx=lg（10 ^x+1）-x-mx=lg（10 ^x+1）-（m+1）x

=f（x）=lg（10 ^x+1）+mx∴m=-（m+1），∴m=-

1

2 ∴m+n=

1

2

（2）∵ h(x)=f(x)+

1

2 x =lg（10 ^x+1）

∴h[lg（2a+1）]=lg[10 ^lg（2a+1）+1]=lg（2a+2）

∵ g(x)=

4 x -1

2 x =2 ^x-2 ^-x

∴g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）＜2 ^x-2 ^-x对任意x≥1恒成立

取x ₁＞x ₂≥1，则g（x ₁）-g（x ₂）=（ 2 x 1 - 2 x 2 ）

2 x 1 • 2 x 2 -1

2 x 1 • 2 x 1 ＞0

即当x≥1时，g（x）是增函数，∴g（x） _min=f（1）=

3

2

由题意得2a+2＜ 10

3

2 ，2a+1＞0，2a+2＞0，

解得-

1

2 ＜a＜5

10 -1

即a的取值范围是{a|-

1

2 ＜a＜5

10 -1}