Question

0*1+1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+.+(n-1)*n=?

Answer 1

0*1+1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+.+(n-1)*n

= [ 1*2*(3-0)+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+.+(n-1)*n*( (n+1)-(n-2) ) ]/3

=[ 1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+...+(n-1)*n*(n+1)-(n-2)*(n-1)*n ] /3

↓ ↓

这两项消去了,其他的以此类推

=(n-1)*n*(n+1)/3

把两部分结果结合起来

【1+2+3+4+...+（n-1）+n】+【0*1+1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+.+(n-1)*n】

=n(n+1)/2+(n-1)*n*(n+1)/3

=n(n+1)(2n+1)/6

注：

这是1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6