Question

高等数学二重积分求区域A的体积V,其中A由z=xy,x²+y²=a²,z=0围成.最好详细

Answer 1

体积V即以闭域D:x²+y²=a²为底,z=f(x,y)为曲顶的立体的体积

∴V=∫∫(D) z dxdy 其中D={(x,y)|x²+y²=a²}

转换到极坐标系

V=∫∫(D) z dxdy

=∫∫(D) xy dxdy

=∫∫(D) (rcosθ)(rsinθ)r drdθ

=4∫(0→π/2)(sinθcosθ)dθ∫(0→a)r³dr

=4[(sin²θ/2)|(0→π/2)]*[(r^4/4)|(0→a)]

=4*(1/2)*(a^4/4)

=a^4/2