设物体质量为m,绳子长度为L,绳子与竖直方向的夹角为β
由于物体受到重力和绳子拉力作用,而绳子拉力总是垂直于速度的,因此满足能量守恒定律,球体竖直方向重力做功的大小等于物体动能的增量.
故而有 mgLcosβ = 0.5mv^2 得到 v^2=2gLcosβ
而重力的功率是重力乘以重力方向上的速度的大小
而物体处于角度β时,速度v的竖直分量为 vsinβ
故而有 重力的瞬时功率为 P=mgvsinβ
P^2=(mg)^2·(sinβ)^2·(2gLcosβ)=A(cosβ · sin^2β) A为其他的常量
那么要求的就是f(β)=cosβ · sin^2β=cosβ(1-cos^2β)=cosβ-(cosβ)^3的最大值
求导得到 f '(β) = -sinβ + 3(cosβ)^2sinβ 令其等于零可得 f(β)的极值点有两个 一个是sinβ=0 另一个是cosβ=3分之根号3,即sinβ=3分之根号6
带入到P=mgvsinβ可知 最大值应为cosβ=3分之根号3取得,即重力功率最大值为小球与竖直方向夹角为arccos3分之根号3时取得.
今天看到了楼下有位贴图的解题方法,明显是有错误的.
错误在于在倒数第5行你用到了均值不等式,而这个不等式取等号的条件是 (sinθ)^2=cosθ,那么在这个前提下,cosθ=1/2,则sinθ=2分之根号3,不满足取等号的条件.