Question

等轴双曲线的一条弦MN与其实轴垂直,A,B为曲线的2个顶点,求证角MAN+角MBN=180

Answer 1

设等轴双曲线x^2/a-y^2/a=1

顶点A(-a,0) B(a,0)

由对称性不妨设MN:x=k(k>a)

记其与x轴交点P

由对称性可知∠MAN=2∠MAP ∠MBN=2∠MBP

即证∠MAP+∠MBP=π/2

设点M(k,p)

tan∠MAP=(k-a)/p

tan∠MBP=(k+a)/p

tan∠MAP*tan∠MBP=(k^2-a^2)/p^2

M(k,p)在双曲线上则k^2-p^2=a^2

tan∠MAP*tan∠MBP=(k^2-a^2)/(k^2-a^2)=1

tan∠MAP=cot∠MBP=tan(π/2-∠MBP)

而0