Question

（2014•德阳一模）已知函数F（x）=lnx-ax-a−1x+1．

Answer 1

（1）由题意得F′（x）=

1

x-a+

a−1

x2，

∴F′（2）=

1

2-a+

a−1

4=0⇒a=

1

3，

（2）由（1）得F′（x）=

−(x−1)(ax+a−1)

x2，

①当0＜a＜

1

2时，

1−a

a=

1

a-1＞1，

故x∈（0，1）时F′x）＜0，

x∈（1，

1

a-1）时，F′（x）＞0，

x∈（

1

a-1，+∞）时，F′（x）＜0，

即F（x）在（0，1）上递减，在（1，

1

a-1）上递增，在（

1

a-1，+∞）上递减；

②a=

1

2时，F′（x）=

−(x−1)2

2x2≤0，（当且仅当x=1时等号成立），

故F（x）在（0，+∞）上递减，

综上：当0＜a＜

1

2时F（x）在（0，1）上递减，在（1，

1

a-1）上递增，在（

1

a-1，+∞）上递减；

a=

1

2时，F（x）在（0，+∞）上递减；

（3）由题意

F(x1)−F(x2)

x1−x2＞-a-1，∀x₁≠x₂，x₁，x₂∈[1，2]恒成立，

不妨设x₁＞x₂，则

F(x1)−F(x2)

x1−x2＞-a-1⇔F（x₁）-F（x₂）＞-（a+1）x₁+（a+1）x₂，

即F（x₁）+（a+1）x₁＞F（x₂）+（a+1）x₂，函数y=F（x）+（a+1）x在[1，2]上递增，

∴y′=

1

x+1+

a−1

x2≥0在x∈[1，2]上恒成立，

即a≥-x²-x+1在x∈[1，2]上恒成立，

又-x²-x+1=-(x+

1

2)2+

5

4在[1，2]上的最大值为-1，

∴a的范围是[-1，+∞）．