如图,△ABC中,∠ACB=90°,以AC为底边作等腰三角形△ABC,AD=CD=10,过点D作DE⊥AC,垂足为F,D

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  • 解题思路:(1)根据题意得出∠AFE=∠ACE=90°可得出EF∥BC,再由点F是AC的中点可得出点E是斜边AB的中点,继而利用直角三角形的斜边中线的性质可得出所证得结论.

    (2)根据轴对称求最短路径的知识可得,点C关于DE的对称点和点B的连线与DE的交点即是点P的位置,结合图形及(1)可得点P的位置即是点E的位置,从而可求出此时△PBC的周长.

    (1)证明:∵DE⊥AC,∠ACB=90°,

    ∴EF∥BC,

    又∵△ADC是等腰三角形,

    ∴点F是AC的中点(等腰三角形的三线合一的性质),

    ∴EF是△ABC的中位线,即可得点E是斜边AB的中点,

    ∴在RT△ABC中可得,AE=CE=BE;

    (2)∵△ABC中,∠ACB=90°,AB=15cm,BC=9cm,

    ∴AC=

    AB2−BC2=

    152−92=12,

    ∵AD=CD=10cm,DE⊥AC,

    ∴F是AC的中点,

    ∴EF=[1/2]BC=[1/2]×9=4.5,AF=[1/2]AC=[1/2]×12=6,

    ∴DF=

    AD2−AF2=

    102−62=8,

    ∴DE=DF+EF=8+4.5=12.5cm,

    根据轴对称求最短路径的知识,可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小,也即△PBC的周长最小,

    此时PB=PC=[1/2]AB=[15/2],即DP=DE=12.5cm时,△PBC的周长最小,

    ∴△PBC的最小周长=PB+PC+BC=15+9=24cm.

    点评:

    本题考点: 轴对称-最短路线问题;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线.

    考点点评: 本题考查利用轴对称求最短路径的知识,与实际结合得比较紧密,有一定的综合性,解答本题(2)的关键是利用轴对称的性质确定点P的位置.