Question

已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．

Answer 1

解题思路：（1）根据奇函数的性质f（-x）=f（x），已知条件函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2可以推出f′（1）=0和f（1）=2，代入即可求得函数y=f（x）的解析式；

（2）根据题意对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，将问题转化为）|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|，求出f（x）的最大值和最小值即可；

（3）已知关于p的一元二次方程p²-2mp+4=0两个根均大于1，根据根与系数的关系求出m的范围，利用导数研究函数g（x）的单调性；

（1）∵奇函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2，奇函数f（-x）=-f（x），解得b=0，

可得f′（x）=3ax²+c

由题

b＝0

f′(1)＝0

f(1)＝2，解得

a＝−1

b＝0

c＝3，f（x）=-x³+3x；

（2）|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，

根据（1）可得f（x）=-x³+3x；

求导得f′（x）=-3x²+3=-3（x²-1）令f′（x）=0，可得x=1或-1，

当f′（x）＞0即-1＜x＜1，f（x）为增函数，

当f′（x）＜0时即x＞1或x＜-1，f（x）为减函数，

f（x）在x=1处取极大值f（1）=2，在x=-1处取得极小值f（-1）=-，2；

f（-2）=2，f（2）=-2，

∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，

要使对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，

∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，

故c的最小值为4；

（3）p²-2mp+4=0两个根均大于1，

则求得2≤m＜

5

2，g（x）=-x²+3+mlnx，则x＞0．

g′(x)＝−2x+m•

1

x＝

−2x2+m

x．

而2≤m＜

5

2，则x∈(0，

m

2)时，g'（x）＞0，

故(0，

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 此题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查的知识点比较全面是一道中档题，这类题是高考的热点问题；