Question

6.如图6,AB是圆O的直径,BC是圆O的切线,切点为B,D是圆O上一点,CD=CB,连接AD.OC.OC交圆O于E,交

Answer 1

（1）连接OD 因为CD=CB,OD=OB,CO=CO => △CDO=(全等)△CBO

CD=CB,CF=CF,∠DCF=∠BCF => △CDF=(全等)△BCF

=>∠ODC=∠OBC=90 于是CD是圆O的切线,同时有∠BFC=90',DB垂直于CO.

（2）AD垂直于BD,有△BOF相似于△BAD,∠OFB=∠OBC=90',有△OFB相似于△OBC

=> △BAD相似于△COB => ∠ABD=∠BCE=∠DCE => ∠BCD=2∠ABD

（3）连接DE,BE ,令∠CBE=a,∠DBE=b,有∠BCO=∠ABD=90-a-b =>∠OBE=90-a

∠OEB=∠EBC+∠ECB=90-b,而OB=OE => ∠OEB=∠OBE=> 90-a=90-b => a=b

于是由BE是角DBC的平分线,同样的DE也是BDC的平分线,CE由上述知是BCD的平分线

于是E是三角形BDC的内心

（4）由∠BCD=60° BC=CD 知△BCD为正三角形.

正三角形三心合一.由重心性质知 EF/CE=1/2

(或者略证：EF=sin30 BE=sin30 CE 也可简单求得)

证毕#