Question

平面直角坐标系中过C（p，0）作直线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点，如图设A（x1，y1）、B（x2，y

Answer 1

解题思路：（1）分情况讨论：当直线AB垂直于x轴时，计算得y₁y₂=-2p²；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），代入抛物线方程得ky²-2py-2p²k=0，因此有y₁y₂=-2p²为定值．

（2）先表示出

S

△ADB

＝

1

2

DC•|

y

1

−

y

2

|

，再分类讨论：当直线AB垂直于x轴时情况比较简单；当直线AB不垂直于x轴时，由（1）知

y

1

+

y

2

＝

2p

k

，最后利用基本不等式求得△ADB面积的最小值即可．

（1）当直线AB垂直于x轴时，y1＝

2p，y2＝−

2p，因此y₁y₂=-2p²（定值）；…．（1分）

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），

由

y＝k(x−p)

y2＝2px得ky²-2py-2p²k=0，∴y₁y₂=-2p²..（3分）

因此有y₁y₂=-2p²为定值．…．（1分）

（2）D（-p，0），∴DC=2p.S△ADB＝

1

2DC•|y1−y2|．…（1分）

当直线AB垂直于x轴时，S△ADB＝

1

2•2p•2

2p＝2

2p2；…（1分）

当直线AB不垂直于x轴时，由（1）知y1+y2＝

2p

k，

因此|y1−y2|＝

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查弦长的计算和直线与抛物线位置关系的综合运用，解题时要注意分类讨论思想和弦长公式的合理运用，注意合理地进行等价转化．