如图所示,直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴的另一交

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  • (1)∵直线y=-x+3与x轴相交于点B,

    ∴当y=0时,x=3,

    ∴点B的坐标为(3,0),

    又∵抛物线过x轴上的A、B两点,且对称轴为x=2,

    根据抛物线的对称性,

    ∴点A的坐标为(1,0);

    (2)∵y=-x+3过点C,易知C(0,3),

    ∴c=3,

    又∵抛物线y=ax 2+bx+c过点A(1,0),B(3,0),

    解得

    ∴y=x 2-4x+3;

    (3)连接PB,由y=x 2-4x+3= (x-2) 2-1,得P(2,-1),

    设抛物线的时称轴交x轴于点M,

    在Rt△PBM中,PM=MB=1,

    ∴∠PBM=45°,PB=

    由点B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,

    在等腰直角三角形OBC中,∠ABC=45°,

    由勾股定理,得BC=3

    假设在x轴上存在点Q,使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似,

    ①当

    ,∠PBQ=∠ABC=45°时,△PBQ∽△ABC,

    ∴BQ=3,

    又∵BO=3,

    ∴点Q与点O重合,

    ∴Q 1的坐标是(0,0),

    ②当

    ,∠QBP=∠ABC=45°时,△QBP∽△ABC,

    ∴QB=

    ∵OB=3,

    ∴OQ=OB-QB=3-

    ∴Q 2的坐标是

    ∵∠PBx=180°-45°=135°,∠BAC<135°,

    ∴∠PBx≠∠BAC,

    ∴点Q不可能在B点右侧的x轴上,

    综上所述,在x轴上存在两点Q 1(0,0)、Q 2

    ,能使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似。