Question

已知圆C：x²＋y²－2x＋4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过原

Answer 1

令A(x1,y1)，B(x2,y2) 若存在直线L使得弦AB为经过原点的圆M的直径 则圆M的圆心坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2] 圆M的半径为AB/2 于是得到圆M的方程为[x-(x1+x2)/2]^2+[y-(y1+y2)/2]^2=(AB/2)^2 因圆M过原点(0,0) 则有[(x1+x2)/2]^2+[(y1+y2)/2]^2=(AB/2)^2 即有(x1+x2)^2+(y1+y2)^2=AB^2（*） 令直线L方程为y=x+m（注意到k=1） 代入圆C方程有2x^2+2(m+1)x+m^2+4m-4=0 由韦达定理有 x1+x2=-(m+1)（I） x1x2=(m^2+4m-4)/2 由弦长公式有 AB=|x1-x2|*√(1+k^2)（注意到k=1） =√2*√[(x1+x2)^2-4x1x2] =√2*√(-m^2-6m+9)（II） 因A、B都在直线L上，则有 y1=x1+m y2=x2+m 两式相加得y1+y2=x1+x2+2m=m-1（III） 将（I）（II）（III）代入（*）得 m^2+3m-4=0 解得m=-4或m=1 综上可知，满足条件的直线L有两条： y=x-4 y=x+1 同学您好，如果问题已解决，记得采纳哦~~~您的采纳是对我的肯定~ 祝您策马奔腾哦~