Question

AD为△ABC的角平分线,BF⊥AD的延长线于点F,AM⊥AD于A交BC的延长线于点M,FC的延长交AM于E.求证AE=

Answer 1

延长AC、BF,交于点N

BN⊥AF,AM⊥AF,可知BN平行AM,因此有以下两组三角形相似：

△BFC相似△MEC；△FNC相似△EAC对应边成比例有以下结论

BF：ME=FC：CE ；FN：EA=FC：CE

由上两左可知：BF：ME=FN：EA,变形可得BF：FN=ME：EA

直角三角形ABF、ANF中,∠BAF=∠NAF∠AFB=∠AFNAF=AF.所以这两个三角形全等（角角边定理）因此有：BF=FN

BF：FN=ME：EA=1

所以AE=EM.证毕!