Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，Sn-Sn-1=2SnSn-1（n≥2）．

Answer 1

解题思路：（1）将已知等式S_n-S_n-1=2S_nS_n-1的两边同除以S_nS_n-1，利用等差数列的定义证得

{

1

S

n

}

为等差数列．

（2）利用等差数列的通项公式求出

1

S

n

，再将它取倒数即得到数列{a_n}的前n项和S_n．

（1）∵S_n-S_n-1=2S_nS_n-1
∴

1

Sn−1−

1

Sn＝2即

1

Sn−

1

Sn−1＝−2（常数）

∴{

1

Sn}为等差数列

（2）∵

1

Sn＝

1

S1+(n−1)(−2)＝1−2n+2＝−2n+3

∴Sn＝

1/−2n+3]．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法：常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．