这个题目有问题, 没有讲清楚域K, 相应的V也就不确定, 这自然要影响到不变子空间
1. 先写出σ在这组基下的表示矩阵
A=
2 -4
3 9
2. 在V的基域K上求出A的所有特征值和特征向量
这里先按照K=C来算
A的特征值是5和6, 对应的特征向量分别是(4,-3)^T和(1,-1)^T
3. V至少有两个平凡不变子空间{0}和V
一维的不变子空间是特征子空间span{(4,-3)^T}和span{(1,-1)^T}
没有更多的了
注意, 讲清楚域是非常重要的.
这里出题人的"运气比较好", 只要K包含Q总能得到两个特征值, 而K在span这个记号里也不显式出现, 所以从条件到结论都可以避开显式叙述K, 但这不代表题目没出错.
如果换一个例子,
A=
0 1
-1 0
K=Q或K=R, 那么σ就没有特征值(尽管A有两个复特征值, 但不属于K), 此时也就没有一维的不变子空间
但如果K=C就会有两个一维的不变子空间