解题思路：先求出⊙C绕点A按逆时针方向旋转360°的圆心距的范围，再根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．
将⊙C绕点A按逆时针方向旋转360°，在这个过程中，⊙O和⊙C的圆心距的范围为：3-2≤圆心距≤5，即1≤圆心距≤5
根据图形，得R=2，r=1，
则R+r=3，R-r=1，
则在这个过程中，⊙O和⊙C外切2次，内切3次，共相切3次．
故答案为：5．
点评：
本题考点： 坐标与图形性质；圆与圆的位置关系；旋转的性质．
考点点评： 考查了圆与圆的位置关系，坐标与图形性质，旋转的性质．解题的关键是得到⊙O和⊙C在旋转过程中圆心距的范围．