Question

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）＞6abc．

Answer 1

解题思路：利用基本不等式，得出三个不等式，再相加，利用a，b，c不全相等，即可证得结论．

证明：∵b²+c²≥2bc，a＞0，

∴a（b²+c²）≥2abc①…（5分）

同理 b（c²+a²）≥2abc②

c（a²+b²）≥2abc③…（9分）

因为a，b，c不全相等，所以b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，a²+b²≥2ab三式不能全取“=”号，

从而①、②、③三式也不能全取“=”号

∴三式相加可得：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）＞6abc…（14分）

点评：

本题考点： 综合法与分析法(选修）．

考点点评： 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．