Question

已知f（logax）=[1/a−1(x−1x)（其中a是大于1的常数）

Answer 1

解题思路：（1）设t=log_ax，a＞1，t∈R则x=a^t，代入即可求解函数式子．（2）根据指数函数判断单调性，在运用奇偶性的定义判断为奇函数，即可求解1-m²＜m-1，就能够得到答案．

（1）设t=log_ax，a＞1，t∈R则x=a^t，

∵f（log_ax）=

1

a−1(x−

1

x)（其中a是大于1的常数）

∴f（t）=

1

a−1]（a^t-a^-t），（其中a是大于1的常数）

∴函数y=f（x）=[1/a−1]（a^x-a^-x），（a＞1，常数）

（2）∵f（-x）=）=[1/a−1]（a^-x-a^x）=-f（x），（a＞1，常数）

∴f（x）为奇函数，

∵x₁＜x₂，a x1＜ax2，a −x1＞a −x2，

∴a x1−ax2＜0，a −x1-a −x2＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）=[1/a−1]（（a x1−ax2）-（a −x1−a−x2））＜0，

∴f（x₁）＜f（x₂），

∴函数y=f（x）=[1/a−1]（a^x-a^-x），（a＞1，常数）单调递增函数．

∵不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

∴1-m²＜m-1，

m²+m-2＞0，

即m＞1或m＜-2，

故不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的解集为：（-∞，-2）∪（1，+∞）

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题考察了指数函数的单调性，复合函数的奇偶性，单调性，运用解决不等式，属于中档题．