已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.

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  • 解题思路:(Ⅰ)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项.

    (Ⅱ)法一:借助于错位相减求和;法二:用数学归纳法求解.

    (Ⅰ)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,

    由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,s4=8+6d,

    由条件a4+b4=27,s4-b4=10,

    得方程组

    2+3d+3q3=27

    8+6d−2q3=10,

    解得

    d=3

    q=2,

    故an=3n-1,bn=2n,n∈N*

    (Ⅱ)方法一,由(Ⅰ)得,Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1; ①;

    2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1; ②;

    由②-①得,Tn=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2

    =

    12(1−2n−1)

    1−2+2n+2-6n+2

    =10×2n-6n-10.(n∈N*).

    方法二:数学归纳法,

    ③当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立,

    ④假设当n=k时等式成立,即Tk+12=-2ak+10bk

    则当n=k+1时有,

    Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1

    =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk

    =ak+1b1+qTk

    =ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)

    =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24

    =-2ak+1+10bk+1-12.

    即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1,因此n=k+1时等式成立.

    ③④对任意的n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立.

    ∴Tn=-2an+10bn-12=10×2n-6n-10.(n∈N*).

    点评:

    本题考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和.

    考点点评: 本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题.解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识,基本方法.并考察计算能力.