Question

（2014•成都二模）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2，A1在底面ABC上的射

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先利用面面垂直的判定定理证明出平面A₁AC⊥平面ABC，进而证明出BC⊥AC₁，同理根据菱形的性质证明出A₁C⊥AC₁，利用线面垂直的判定定理证明出AC₁⊥平面A₁CB，最后根据线面垂直的性质证明出AC₁⊥BA₁．

（Ⅱ）分别求出

V

A

1

B

1

C

1

−ABC

和

V

A

1

−ABC

最后作差即可．

（Ⅰ）证明：∵A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，

∴A₁D⊥平面ABC，

∵A₁D⊂平面A₁AC，

∴平面A₁AC⊥平面ABC，

∵BC⊥AC，平面A₁AC∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面A₁AC，

∵AC₁⊂平面A₁AC，

∴BC⊥AC₁，

∵四边形ACC₁A₁为平行四边形，AA₁=AC，

∴四边形ACC₁A₁为菱形，

∴A₁C⊥AC₁，

∵A₁C⊂平面A₁CB，BC⊂平面A₁CB，A₁C∩BC=C，

∴AC₁⊥平面A₁CB，

∵BA₁⊂平面A₁CB，

∴AC₁⊥BA₁．

（Ⅱ）∵VA1−ABC=[1/3]S_△ABC•A₁D=[1/3]×[1/2]×2×2×

3=

2

3

3．

VA1B1C1−ABC=S_△ABC•A₁D=[1/2]×2×

3=2

3．

∴VA1−BCC1B1=VA1B1C1−ABC-VA1−ABC=2

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用，和棱柱体积的计算．考查了学生空间观察能力和实际运算能力．