Question

如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC

Answer 1

解题思路：根据已知条件的特点，取BC的中点O，连接AO、SO，既可证明AO⊥平面BSC，又可证明SO⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可得到结论．

证明：取BC的中点O，连接AO、SO．

∵AS=BS=CS，SO⊥BC，

又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC，

从而AO⊥BC．

设AS=a，又∠BSC=90°，则SO=

2

2a．

又AO=

AB2−BO2=

a2−

1

2a2=

2

2a，

∴AS²=AO²+SO²，故AO⊥OS．

从而AO⊥平面BSC，又AO⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面BSC．

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题是面面垂直的证明问题．一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线，属于中档题．