解题思路：（1）根据直线y=x图象上点的特点，得出线y=x与y轴的夹角是45°，即可得出求得边OA旋转的角度；
（2）①利用SAS得出全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数，即可得出答案；
②利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子即可．
（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°；
故答案为：45．
（2）①△OAM≌△OCN，正方形OABC旋转的度数为22.5°．
理由：∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中
AM＝CN
∠OAM＝∠OCN
AO＝CO
∴△OAM≌△OCN（SAS）
∴∠AOM=∠CON=[1/2]（∠AOC-∠MON）=[1/2]（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．
②△MBN的周长的值为2，
证明：如图所示：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN，
在△OAE和△OCN中
∠EOA＝∠CON
OA＝OC
∠OAE＝∠OCN，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中
OE＝OC
∠EOM＝∠NOM
OM＝OM，
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长无变化．
点评：
本题考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
考点点评： 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，注意求一些线段的长度或角的度数，总要整理到已知线段的长度上或已知角的度数上进而得出是解题关键．