Question

为什么对称不等式的证明中可以增设a+b+c=1或abc=1?

Answer 1

比如在中

第一步 两边同时除以(a+b+c)^3

整理得(a/a+b+c)^3+(b/a+b+c)^3+(c/a+b+c)^3>=3(a/a+b+c)(b/a+b+c)(c/a+b+c)

第二步 令x=a/a+b+c y=b/a+b+c z=c/a+b+c

得x^3+y^3+z^3>=3xyz (x+y+z=1)

第三步 反过来用a、b、c三个符号代替x、y、z(仅仅是用符号代替之)

得a^3+b^3+c^3>=3abc (a+b+c=1)

于是在两次令之后a+b+c就等于1 同理也可以巧妙代换得到abc=1 仔细观察会发现 正是‘其次对称不等式’才能在代换中保持原式的不变性 这就是这种不等式可以‘偷懒’的地方………………