Question

已知函数f（x）=ex+ax-1（a∈R，且a为常数）．

Answer 1

解题思路：（1）由已知中函数的解析式，求出函数导函数，进而对a进行分类讨论，即可得到不同情况下函数f（x）的单调区间；

（2）当a＜0时，若方程f（x）=0只有一解，即函数f（x）=e^x+ax-1有且只有一个零点，结合（1）的结论，可得函数的最小值应该为0，而由f（0）=0，可得函数的最小值点为0，进而求出a的值；

（3）若对所有x≥0都有f（x）≥f（-x），即e^x-e^-x+2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，构造函数令g（x）=e^x-e^-x+2ax，结合g（0）=0，可得g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出函数的导函数，结合基本不等式求出最值，可得a的取值范围．

（1）∵f（x）=e^x+ax-1

∴f′（x）=e^x+a

当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；

当a＜0时，令f′（x）=e^x+a=0，则x=ln（-a）

当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）＞0，

此时f（x）的单调递减区间为（-∞，ln（-a））；单调递增区间为（ln（-a），+∞）；

（2）当a＜0时，若方程f（x）=0只有一解，

即函数f（x）=e^x+ax-1有且只有一个零点

由（1）得f[ln（-a）]=e^x+ax-1=0，又∵f（0）=e⁰+0-1=0，

故ln（-a）=0，解得a=-1

（3）若对所有x≥0都有f（x）≥f（-x），即e^x+ax-1≥e^-x-ax-1

e^x-e^-x+2ax≥0在（0，+∞）上恒成立；

令g（x）=e^x-e^-x+2ax，

∵g（0）=0

∴g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立

即g'（x）=e^x-e^-x+2a≥0在（0，+∞）上恒成立

∵e^x-e^-x+2a≥2+2a

∴a≥-1

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点．

考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的零点，函数恒成立，是函数，导数，不等式的综合应用，难度中档．