Question

证明x=-1是方程ax^2-2bx+3c=0的根的充要条件是a+2b+3c=0

Answer 1

先证必要性

将x=-1带入方程得

a*(-1)^2-2b*(-1)+3c=0

则a+2b+3c=0

再证充分性

将ax^2-2bx+3c=0变形为

a(x+1-1)^2-2b(x+1-1)+3c=0

化为a(x+1)^2-2(a+b)(x+1)+a+2b+3c=0

因a+2b+3c=0,故等式可变为

a(x+1)^2-2(a+b)(x+1)=0

观察可知当x=-1时无论a,b取何值,等式恒成立

证毕