Question

三棱锥A-BCD中,E,F分别为AC,BD中点,若AB=2,CD=4,AB⊥EF,求EF与CD所成的角.

Answer 1

取AD中点M,BC中点N,连结ME、MF、EN、FN,

MF是三角形ABD中位线,

MF//AB,且MF=AB/2=1,

EF⊥AB,

EF⊥MF,

同理,ME//CD,ME=CD/2=2,

三角形EFM是直角三角形,根据勾股定理,

EF=√（ME^2-MF^2)=√3,

同理EN=AB/2=1,

FN=CD/2=2,

在三角形EFN中,根据余弦定理,

cos

而FN//CD,

故

故EF和CD所成角为30 度,

实际上,EF^2+EN^2=4,FN^2=4,

三角形EFN是直角三角形,

〈FEN=90度,

EN=FN/2

∴〈EFN=30度.