Question

如图,已知在正方形ABCD中,AB＝2,P是边BC上的一个动点,E是边BC延长线上的点,联结AP,过点P作PF⊥AP,与

Answer 1

（1）证明：在边AB上截取线段AH,使AH=PC,连接PH,

由正方形ABCD,得∠B=∠BCD=∠D=90°,AB=BC=AD,

∵∠APF=90°,

∴∠APF=∠B,

∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APF+∠FPC,

∴∠PAH=∠FPC；

又∵∠BCD=∠DCE=90°,CF平分∠DCE,

∴∠FCE=45°,

∴∠PCF=135°；

又∵AB=BC,AH=PC,

∴BH=BP,即得∠BPH=∠BHP=45°,

∴∠AHP=135°,即得∠AHP=∠PCF；

在△AHP和△PCF中,∠PAH=∠FPC,AH=PC,∠AHP=∠PCF,

∴△AHP≌△PCF,

∴AP=PF．

（2）解,△CPG的周长不变,周长为4．

延长CB至点M,使BM=DG,连接AM,

由AB=AD,∠ABM=∠D=90°,BM=DG,

得△ADG≌△ABM,即得AG=AM,∠MAB=∠GAD；

∵AP=FP,∠APF=90°,

∴∠PAF=45°,

∵∠BAD=90°,

∴∠BAP+∠DAG=45°,即得∠MAP=∠PAG=45°；

于是,由AM=AG,∠MAP=∠PAG,AP=AP,

得△APM≌△APG,

∴PM=PG,

即得PB+DG=PG,

∴△CPG的周长=BC+CD=4

（3）见图片