Question

设集合S={x|x=m^2-n^2,m∈Z且n∈Z}

Answer 1

(1).设2k∈S,则有m∈Z且n∈Z,

2k=m^2-n^2=(m+n)(m-n),

m+n 和m-n奇偶性相同,且(m+n)(m-n)是偶数,所以m+n和m-n都是偶数,(m+n)(m-n)是4的倍数,所以k是偶数.

反之易证,若k是偶数,则2k∈S.

(2).a∈S且b∈s,设a=m^2-n^2,b=p^2-q^2,m,n,p,q∈Z,

ab=(m^2-n^2)(p^2-q^2)

=m^2p^2+n^2q^2-m^2q^2-n^2p^2

=(mp+nq)^2-(mq+np)^2,

mp+nq,mq+np∈Z,

所以,ab∈S.