See him is my purpose of coming here.这句话是错误的.因为主语是See him,see是动词,谓语是is,这句有两个词（see,is）呈现了时态（一个简单句只能一个谓语）所以是错误的.因此,要把see改成seeing 或者to see.
Seeing him is my purpose of coming here.这句话是对的,意思是看他是我来到这儿的目的.
To see him is my purpose of coming here.这句话也是对的,意思是去看他是我来到这儿的目的.
这两句的主语分别是（Seeing him）（To see him）,不过（Seeing him）是表示see这个动作代表的事情,是动名词做主语；（To see him）是动词不定式做主语,动词不定式tosee这个动作还没发生,所以翻译成：去看他.