Question

设a、b、c都是正数,且a+b+c=1,求证：（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8

Answer 1

1/a-1 = (1-a)/a = (b+c)/a.

所以原式等于(b+c)/a*(c+a)/b*(a+b)/c

=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc).

分子展开,原式

=(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc)/(abc).

=(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)/(abc)+2

对a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2运用算术-几何平均值不等式,得

a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2>=6*(6次根号下(a2b*ab2*b2c*bc2*c2a*ca2))

=6abc.

即原式>=6+2=8.证毕.

（以上a2表示a的2此方)