先说明一下,以下等式都是向量.
证明：
(1)AE=AC+CE=AC+(1/2)CP=AC+(1/2)[CA+AP]=(1/2)[AC+AP]（其实也可以直接得到,因为AE是以AC,AP为邻边的平行四边形对角线的一半）
AE·CD=(1/2)[AC+AP]·CD
∵AC⊥CD,∴AC·CD=0,∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥CD,∴PA·CD=0
∴(1/2)[AC+AP]·CD=0即AE·CD
∴AE垂直于CD.
(2)∵AB⊥AD,又∵PA⊥面ABCD,AB∈面ABCD,所以PA⊥AB
∵AD,PA∈面PAD,∴AB⊥面PAD,∴AB⊥PD.①
∵AB=AC,角ABC=60°,∴△ABC是正三角形,所以AB=BC=CA,又∵PA=AB,所以PA=AC.
又∵E是PC的中点,所以AE垂直平分PC.由(1)知AE⊥CD,∵PC,CD∈面PCD,所以AE⊥面PCD,∴AE⊥PD.②
∵AB,AE∈面ABE,由①②可知,PD⊥面ABE.
向量证法：PD·AB=[PA+AD]·AB
∵PA⊥AB,AD⊥AB,∴PD·AB=0,∴PD⊥AB..③
∵AB=AC,角ABC=60°,∴△ABC是正三角形,所以AB=BC=CA,又∵PA=AB,所以PA=AC
PD·AE=[PA+AD]·(1/2)[AC+AP]=(-1/2)PA²+(1/2)AD·AC=(-1/2)PA²+(1/2)[AC+CD]·AC
=(1/2)[AC²-PA²]=0.,∴PD⊥AE.④
由③④可得PD⊥面ABE