已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx,

1个回答

  • 解题思路:(1)构造函数F(x)=ex-x-1,求函数的导数即可证明f(x)≥x+1;

    (2)求函数的导数,利用导数的几何意义即可证明存在唯一的x0使得g(x)图象在点A(x0,g(x0))处的切线l与y=f(x)图象也相切;

    (3)求函数的导数,利用导数和不等式之间的关系即可证明对任意给定的正数a,总存在正数x,使得|

    f(x)−1

    x

    -1|<a成立.

    (1)令F(x)=ex-x-1,x∈R,

    ∵F'(x)=ex-1=0得x=0,∴当x>0时F'(x)>0,F(x)递增;

    当x<0时F'(x)<0,F(x)递减;∴F(x)min=F(0)=0,

    由最小值定义得F(x)≥F(x)min=0即ex≥x+1.

    (2)g(x)在x=x0处切线方程为y=

    1

    x0x+lnx0−1①

    设直线l与y=ex图象相切于点(x1,ex1),则l:y=ex1x+ex1(1−x1)②,

    由①②得

    1

    x0=ex1(3)

    lnx0=ex1(1−x1)(4),

    ∴lnx0−

    x0+1

    x0−1=0⑤

    下证x0在(1,+∞)上存在且唯一.

    令G(x)=lnx−

    x+1

    x−1(x>1),G′(x)=

    x2+1

    x(x−1)2>0,

    ∴G(x)在(1,+∞)上递增.

    又G(e)=

    −2

    e−1<0,G(e2)=

    e2−3

    e2−1>0,G(x)图象连续,∴存在唯一x0∈(1,+∞)使⑤式成立,从而由③④可确立x1.故得证.

    (1)由(1)知

    f(x)−1

    x−1>0即证当a>0时不等式ex-1-x<ax即ex-ax-x-1<0在(0,+∞)上有解.

    令H(x)=ex-ax-x-1,即证H(x)min<0,

    由H'(x)=ex-a-1=0得x=ln(a+1)>0.

    当0<x<ln(a+1)时,H'(x)<0,H(x)递减,

    当x>ln(a+1)时,H'(x)>0,H(x)递增.

    ∴H(x)min=H(ln(a+1))=a+1-aln(a+1)-ln(a+1)-1.

    令V(x)=x-xlnx-1,其中x=a+1>1

    则V'(x)=1-(1+lnx)=-lnx<0,

    ∴V(x)递减,∴V(x)<V(1)=0.

    综上得证.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题主要考查导数的综合应用,综合性较强,运算量较大.