解题思路：（1）求导数，求出切线斜率，切点坐标，即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，则3ax2+2x-a=0在区间（1，2）上有解，分离参数，求值域，即可得出结论；（3）由h（x）=ax3+（3a+1）x2+（2-a）x-a，知h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得，从而可得φ（b）≥0，由此能求出b的最大值．
（1）当a=1时，f（x）=x3+x2-x，∴f′（x）=3x2+2x-1，
x=1时，f′（1）=4，f（1）=1，
∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y-1=4（x-1），即4x-y-3=0；
（2）∵f（x）=ax3+x2-ax，∴f′（x）=3ax2+2x-a
∵函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，
∴3ax2+2x-a=0在区间（1，2）上有解，
由3ax2+2x-a=0，可得a=[2x
1−3x2，则a′=
2+6x2
(1−3x2)2＞0，
∴a=
2x
1−3x2在区间（1，2）上单调递增，
∴a∈（-1，-
4/11]）；
（3）由题意，g（x）=ax3+（3a+1）x2+（2-a）x-a，
据题知，h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，
即：（x+1）（ax2+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
当x=-1时，不等式①成立；
当-1＜x≤b时，不等式①可化为ax2+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令φ（x）=ax2+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．
又φ（-1）=-4a＞0，故不等式②成立的充要条件是φ（b）≥0，
整理得：
b2+2b−3
b+1≤-[1/a]在a∈（-∞，-1]上有解，
∴
b2+2b−3
b+1≤1，
∴-1＜b≤
17−1
2，
∴实数b的最大值为
17−1
2．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了有关不等式恒成立的问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解，属于中档题．