解题思路:(1)连接BD,证明△DMB≌△DNC.根据已知,全等条件已具备两个,再证出∠MDB=∠NDC,用ASA证明全等,四边形DMBN的面积不发生变化,因为它的面积始终等于△ABC面积的一半;
(2)成立.同样利用(1)中的证明方法可以证出△DMB≌△DNC;
(3)结论仍然成立,方法同(1).
(1)①如图1,连接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,
∴DB=DC=AD,∠BDC=90°,
∴∠ABD=∠C=45°,
∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°,
∴∠MDB=∠NDC,
∴△BMD≌△CND(ASA),
∴DM=DN;
②四边形DMBN的面积不发生变化;
由①知△BMD≌△CND,
∴S△BMD=S△CND,
∴S四边形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=[1/2]S△ABC=[1/2]×(
2
2)2=[1/4];
(2)DM=DN仍然成立;
证明:如图2,连接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,
∴DB=DC,∠BDC=90°,
∴∠DCB=∠DBC=45°,
∴∠DBM=∠DCN=135°,
∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°,
∴∠CDN=∠BDM,
则在△BMD和△CND中,
∠BDM=∠CDN
DB=DC
∠DBM=∠DCN,
∴△BMD≌△CND(ASA),
∴DM=DN.
(3)DM=DN.
点评:
本题考点: 旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
考点点评: 本题利用ASA求三角形全等,还运用了全等三角形的性质,等腰直角三角形的性质,及等腰三角形三线合一定理,勾股定理和面积公式的利用等知识.