在四边形ABCD中,AC、BD相交与点O,且AC=BD ,E、F分别为AD、BC的中点,EF分别交AC、BD于点MN.证

1个回答

  • 证明:设Q、R分别是AB、CD中点,连接EQ、QF、FR、RE,

    FR与AC交点为S,RE与BD交点为T

    因为E、Q、F、R分别是AD、AB、BC、CD中点,

    所以QE‖BD且等于1/2BD,FR‖BD且等于1/2BD,

    QF‖AC且等于1/2AC,ER‖AC且等于1/2AC

    又因为AC=BD,所以EQ=QF=FR=RE 且QE‖RF,QF‖ER

    所以EQFR是平行四边行且是菱形

    得出:EF为∠QER和∠QFR平分线,∠QEF=∠FER,∠QFE=∠RFE,

    因为QF‖ER,所以∠EFQ=∠FER,得∠EFR=∠FER

    因为AC‖ER,所以∠BOA=∠BTE,

    因为BD‖RF,所以∠FSA=∠BOA,得∠FSA=∠BTE,

    在三角形EMT与三角形FNS中,

    ∠MET=∠FER=∠EFR=∠NFS,

    ∠ETM=∠ETB=∠ASF=∠NSF,

    由三角形内角和,得出∠EMT=∠FNS,

    因为∠EMT与∠OMN是对顶角,∠FNS与∠ONM是对顶角,

    所以在三角形NOM中∠OMN=∠ONM,

    三角形NOM为等腰三角形,得出OM=ON

    由题意,取CD中点为G.

    因为E,F各为AD,BC中点

    所以EG//=AC/2,FG//=BD/2

    所以角GEF=角OMN,角GFE=角ONM.

    因为AC=BD.所以EG=FG.

    所以角GEF=角GFE.

    所以角OMN=角ONM.

    所以OM=ON.