Question

在数列{an}中，已知a1=2，对任意正整数n都有nan+1=2（n+1）an．

Answer 1

解题思路：（1）通过递推关系式，判断

{

a

n

n

}

是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式即可求数列{a_n}的通项公式；

（2）直接利用错位相减法求数列{a_n}的前n项的和S_n；

（3）通过na_n≥λ（S_n-2）恒成立，求出λ在一侧的不等式，通过基本不等式求出最值，即可求实数λ的最大值．

（1）∵a₁=2，na_n+1=2（n+1）a_n，

∴

an+1

n+1

an

n＝2，

所以{

an

n}是以

a1

1＝2为首项，2为公比的等比数列，

∴

an

n＝2×2n−1＝2n，an＝n×2n

所以数列{a_n}的通项公式是an＝n•2n；

（2）Sn＝1×2+2×22+3×23+…+n•2ⁿ，

可得2Sn＝1×22+2×23+3×24+…+n•2ⁿ⁺¹，

用错位相减法，数列{a_n}的前n项的和Sn＝(n−1)×2n+1+2；

（3）对于一切非零自然数n都有na_n≥λ（S_n-2）恒成立，

把an＝n•2n，Sn＝(n−1)×2n+1+2代入na_n≥λ（S_n-2）得到：n²≥2λ（n-1）对于一切非零自然数n成立．

当n=1时，λ为任意实数，

当n≥2时，等价于

n2

n−1≥2λ对于一切非零自然数n成立．

等价于函数y＝

n2

n−1(n≥2)的最小值≥2λ，

而∵n≥2，∴y＝

n2

n−1＝

[(n−1)+1]2

n−1＝(n−1)+

1

n−1+2＝[

(n−1)−

1

n−1]2+4≥4．

当n=2时取等号，所以函数y＝

n2

n−1(n≥2)的最小值4≥2λ，λ≤2，

综合得到，所以实数λ的取值范围为（-∞，2]．所以实数λ的最大值为2．

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法错位相减法的应用，数列与不等式的关系，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．