（Ⅰ） f（x）=x 2-2kx+k+1=（x-k） 2-k 2+k+1，对称轴x=k．
①当k＜1时，f min（x）=f（1）=1-2k+k+1=-5，解得k=7，（舍去）
②当1≤k≤2时， f min (x)=f(k)=- k 2 +k+1=-5 ，解得k=-2或3，（舍去）
③当k＞2时，f min（x）=f（2）=4-4k+k+1=-5，解得 k=
10
3 ．
综合①②③可得 k=
10
3 ．-------（4分）
（Ⅱ）当 k∈(-1，-
3
2 )∪(
3
2 ，1) 时，函数f（x）=x 2-2kx+k+1在[k，+∞）上是闭函数．--------（6分）
∵函数开口向上且对称轴为x=k，∴f（x）=x 2-2kx+k+1在[k，+∞）上单调递增．
设存在区间[a，b]⊆[k，+∞）使得f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，
则有
a 2 -2ka+k+1=a
b 2 -2kb+k+1=b ，即方程x 2-2kx+k+1=x在[k，+∞）有两不同实数根．---------（8分）
∴
(2k+1 ) 2 -4(k+1)＞0
2k+1
2 ＞k
k 2 -k(2k+1)+k+1＞0 ，解得 -1＜k＜-
3
2 或
3
2 ＜k＜1 ，
∴k的取值范围为 (-1，-
3
2 )∪(
3
2 ，1) -----（10分）