Question

双曲线和抛物线相交求离心率?已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1与抛物线y^2=2px有相同的焦点F,点A是两曲

Answer 1

设A在第一象限

由题意得：F(p/2,0)

由于F为双曲线右焦点

则：c=p/2

由于AF⊥x轴

则：xA=xF=p/2=c

由于A在抛物线上

则：xA=p/2代入,得：

yA^2=p^2,由yA>0,得：yA=p

则A(p/2,p),由p/2=c

则：A(c,2c)代入x^2/a^2-y^2/b^2=1

得：c^2/a^2-4c^2/b^2=1

b^2c^2-4a^2c^2=a^2b^2

b^2(c^2-a^2)=4a^2c^2

(c^2-a^2)^2=4a^2c^2

a^4+c^4-2a^2c^2=4a^2c^2

a^4-6a^2c^2+c^4=0

左右同除a^4,得：

1-6e^2+e^4=0

e^4-6e^2+9=8

(e^2-3)^2=(±2√2)^2

则：e^2=3±2√2

由于：e>1,则：e^2>1

则：e^2=3+2√2

则：e=1+√2