解题思路:(1)求出AB=AC,BD=DC,根据线段垂直平分线性质求出即可;
(2)①过D作DM⊥EF,连接AD,求出AD平分∠BAC,求出∠ABC=∠ACB=60°,求出BD=DM,BD=DC,推出DM=DC即可;
②求出DB=DM,DM=DC,∠EBD=∠EMD=90°,证出△EBD≌△EMD,推出EM=BE,同理FC=FM,求出EF=BE+CF,即可得出答案.
证明:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
∴A在BC的垂直平分线上,
∵BD=DC,
∴D在BC的垂直平分线上,
∴AD是BC的垂直平分线;
(2)①
过D作DM⊥EF,连接AD,
∵AD是BC的垂直平分线,
∴AD平分∠BAC,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵BD=DC,∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
∴DB⊥AB,DC⊥AC,
∵DM⊥EF,ED平分∠BEF,AD平分∠BAC,
∴BD=DM,BD=DC,
∴DM=DC,
∴FD平分∠EFC;
②
∵DE平分∠BEF,DB⊥AB,DM⊥EF,DF平分∠CFE,
∴DB=DM,DM=DC,∠EBD=∠EMD=90°,
在△EBD和△EMD中
∠EBD=∠EMD
∠BED=∠MED
DE=DE,
∴△EBD≌△EMD,
∴EM=BE,
同理FC=FM,
∴EF=BE+CF,
∴△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=2AB=2BC.
点评:
本题考点: 角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的性质.
考点点评: 此题考查了等边三角形,直角三角形,等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.