如图,D是等边△ABC外的一点,DB=DC,∠BDC=120°,且E、F分别在AB和AC上.

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  • 解题思路:(1)求出AB=AC,BD=DC,根据线段垂直平分线性质求出即可;

    (2)①过D作DM⊥EF,连接AD,求出AD平分∠BAC,求出∠ABC=∠ACB=60°,求出BD=DM,BD=DC,推出DM=DC即可;

    ②求出DB=DM,DM=DC,∠EBD=∠EMD=90°,证出△EBD≌△EMD,推出EM=BE,同理FC=FM,求出EF=BE+CF,即可得出答案.

    证明:(1)∵△ABC是等边三角形,

    ∴AB=AC,

    ∴A在BC的垂直平分线上,

    ∵BD=DC,

    ∴D在BC的垂直平分线上,

    ∴AD是BC的垂直平分线;

    (2)①

    过D作DM⊥EF,连接AD,

    ∵AD是BC的垂直平分线,

    ∴AD平分∠BAC,

    ∵△ABC是等边三角形,

    ∴∠ABC=∠ACB=60°,

    ∵BD=DC,∠BDC=120°,

    ∴∠DBC=∠DCB=30°,

    ∴∠ABD=∠ACD=90°,

    ∴DB⊥AB,DC⊥AC,

    ∵DM⊥EF,ED平分∠BEF,AD平分∠BAC,

    ∴BD=DM,BD=DC,

    ∴DM=DC,

    ∴FD平分∠EFC;

    ∵DE平分∠BEF,DB⊥AB,DM⊥EF,DF平分∠CFE,

    ∴DB=DM,DM=DC,∠EBD=∠EMD=90°,

    在△EBD和△EMD中

    ∠EBD=∠EMD

    ∠BED=∠MED

    DE=DE,

    ∴△EBD≌△EMD,

    ∴EM=BE,

    同理FC=FM,

    ∴EF=BE+CF,

    ∴△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=2AB=2BC.

    点评:

    本题考点: 角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的性质.

    考点点评: 此题考查了等边三角形,直角三角形,等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.