Question

设函数f（x）=[a/x]+xlnx，g（x）=x3-x2-3．

Answer 1

解题思路：（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M；

（II）对于任意的s、t∈[[1/2]，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围．

（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M

∵g（x）=x³-x²-3，∴g′(x)＝3x(x−

2

3)

∴g（x）在（0，[2/3]）上单调递减，在（[2/3]，2）上单调递增

∴g（x）_min=g（[2/3]）=-[85/27]，g（x）_max=g（2）=1

∴g（x）_max-g（x）_min=[112/27]

∴满足的最大整数M为4；

（II）对于任意的s、t∈[[1/2]，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max．

由（I）知，在[[1/2]，2]上，g（x）_max=g（2）=1

∴在[[1/2]，2]上，f（x）=[a/x]+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立

记h（x）=x-x²lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0

∴当[1/2＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0

∴函数h（x）在（

1

2]，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，

∴h（x）_max=h（1）=1

∴a≥1

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究．