解题思路:根据题意可设设两个自然数为X和Y,它们的最大公约数为b,并且X=ab,Y=cb,且由题可知a,b,c都是正整数.由于两个自然数的和是54,可得ab+cb=54=b(a+c)=2×3×9;最小公倍数与最大公约数的差是114,可得abc-b=114=b(ac-1)=2×3×19,因为a,b,c都是正整数,通过以上两个式子可知,所以b 可能是2或3或2×3=6.由此代入数据进行验证即可.
设两个自然数为X和Y,则 X=ab,Y=cb,且由题可知a,b,c都是正整数,
则ab+cb=54=b(a+c)=2×3×9,
abc-b=114=b(ac-1)=2×3×19,
因为a,b,c都是正整数
所以b可能是2或3或6.
经检验,b为2或3 a,c都无正整数解.
所以b只能是6,由此可知,a=4,c=5.
所以 X=ab=24 Y=cb=30.
答:这两个数分别为24,30.
点评:
本题考点: 公约数与公倍数问题.
考点点评: 根据题意列出等式,并由此求出两数的最大公约数的取值范围是完成本题的关键.