解题思路：（Ⅰ）由a1=2，an+1=a
2
n
-nan+1，n=1，2，3…，可求得a2=3，继而可求得a3=4，a4=5，由此猜想an的一个通项公式：an=n+1；
（Ⅱ）利用数学归纳法证明：易证①当n=1时，不等式成立；
②假设当n=k时结论成立，即ak≥k+2，去推证n=k+1时，结论也成立即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an+1=an（an-n）+1≥2an+1，整理可得an+1+1≥2（an+1），于是[1
1+
a
n+1
≤
1/2]•
1
1+
a
n
，反复放缩，可得
1
1+
a
n
≤=
(
1
2
)
n+1
，利用等比数列的求和公式可证得结论成立．
（Ⅰ）由a1=2，得a2=a12-a1+1=3；
由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4；
由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5；
由此猜想an的一个通项公式：an=n+1…4分
（Ⅱ）证明：①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立…6分
②假设当n=k时结论成立，即ak≥k+2，则ak+1+1=ak（ak-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1≥k+3=（k+1）+2，
即n=k+1时，结论也成立．
由①和②可知，an≥n+2…10分
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，an+1=an（an-n）+1≥2an+1，
即an+1+1≥2（an+1），于是[1
1+an+1≤
1/2]•[1
1+an，…12分
所以
1
1+an≤
1/2]•[1
1+an−1≤(
1/2)2•
1
1+an−2]≤…≤(
1
2)n−1•[1
1+a1=(
1/2)n+1．
∴
1
1+a1]+[1
1+a2+…+
1
1+an≤(
1/2)2+(
1
2)3+…+(
1
2)n+1=
(
1
2)2[1−(
1
2)n]
1−
1
2]=[1/2]-(
1
2)n+1＜[1/2]．
点评：
本题考点： 数学归纳法；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列递推关系的应用，着重考查数学归纳法的应用，考查归纳猜想、放缩法的应用及推理论证的能力，是难题．
1年前
6
回答问题，请先
登录
·
注册
可能相似的问题
设数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan=2n（n∈N*）．
1年前
2个回答
（2014•宜昌三模）设数列{an}的通项公式为an=2n，数列{bn}满足2n2-（t+bn）n+32bn=0，（t∈
1年前
1个回答
设数列an的通项公式为an=2n/n+1,判断该数列的增减性
1年前
1个回答
设数列{an}的通项公式为an=-2n+27,Sn是数列{an}的前n 项和,则当n= 时,SN取得最大值
1年前
1个回答
设数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan=2n（n∈N*）．
1年前
2个回答
设数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan=2n（n∈N*）．
1年前
1个回答
设数列an,bn满足an+bn=2n+(2/2^n),an-bn=2n-(2/2^n)(n属于R）若cn=an*bn,求
1年前
1个回答
设数列an的通项公式为an=2n分之1,写出数列第五项
1年前
2个回答
设数列{an}的通项公式为an=2n+1+(-1)^n(n-1),求前n项和为Sn的表达式.
1年前
1个回答
设数列{An}满足An+1=An²－nAn+1,n=1,2,3,···；当A1=2时,求出A2,A3,A4,A
1年前
1个回答
设数列｛an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=2^n(n∈N*) 求数列｛an}的通项公式 设bn=n^2*an
1年前
2个回答
高二数列题：设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明……
1年前
3个回答
设数列{An}满足An+1=An^2-nAn+1,n为正整数,当A1>=3时,证明对所有的n>=1,有
1年前
1个回答
高二数列题：设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明……
1年前
2个回答
设数列{an}满足a1=2,a(n+1)=an+1/an,(n∈N+) 1、求a2,a3 2、证明an>√(2n+1)对
1年前
1个回答
（2014•梅州二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n−1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8a
1年前
1个回答
设数列（an）的首项a1=1,前n项和为Sn ,且Sn+1=2n平方+3n+1 n属于N ,求数列的通项公式an
1年前
3个回答
（2013•闸北区二模）设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N*，都有ban−2n＝(b−1)Sn，bn＝an−n•
1年前
1个回答
（2014•江西模拟）设数列{an}满足：a1=2，对一切正整数n，都有an+1+an=3×2n．
1年前
1个回答
设数列{a n }的前n项和为S n ，且2a n =S n +2n+1（n∈N * ）．
1年前
1个回答
你能帮帮他们吗
Is the man in the orange uniform afirefighter?改为肯定句
1年前
1个回答
在1.2.3.4.1999.2000.2001这2001个自然数里填上2000个加号减号
1年前
1个回答
关于坐标向量的计算已知向量a=（2,3,-1）,b=（-2,1,3）,则以a,b为邻边的平行四边形的面积?
1年前
悬赏5滴雨露
1个回答
9在十分位上比它在十位上小几?这道题怎样分析的?哪位高手帮帮忙,谢谢
1年前
2个回答
一块草地长和宽为20 15在他周围围绕宽度相等小路已知小路面积为246求宽度
1年前
3个回答
精彩回答
他脸色黝黑，一副饱经风霜的样子。只见他上身穿件黑色绒布紧身衣，下身是条宽大短裤，脚蹬肥大长统靴，还背着大红肩带，腰带上挂着马枪，身边还别了把用损了的短剑。那顶垂边的帽子上飘着翎毛，黑旗迎风招展，上面交叉着骷髅头和白骨。 （1）上面这段文字选自名著________，作者________。
5个月前
悬赏5滴雨露
1个回答
阅读下面的文字，完成第16-18题。 孤独的孟子
8个月前
悬赏5滴雨露
1个回答
中国古代历史上第一次大规模的人口迁徙发生在 [ ]
11个月前
悬赏5滴雨露
1个回答
让我们订在五点半吧。 Let’s________ half past five.
1年前
1个回答
把一个长方体的高裁掉2厘米后刚好得到一个棱长为5厘米的正方体,原来长长方体的表面积是多少?
1年前
1个回答
Copyright © 2021 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.065 s. - webmaster@yulucn.com