Question

把311表示成k项连续正整数的和，则项数k的最大值为______．

Answer 1

解题思路：可把这k项连续正整数看成首项为a，公差为1的等差数列，其和为3¹¹，再解关于k的一元二次方程即可．

设这k个正整数分别为a，a+1，a+2，…，a+k-1，

则这k个数的和S=

(k−1)(1＝k−1)

2=3¹¹，

化简得，k²+（2a-1）k=2×3¹¹，

利用一元二次方程求根公式，

得k=

(1−2a)+

( 2a−1)2+8× 311

2

=

(1−2a)+

( 2a−1)2+24× 310

2，

由已知条件知k与a都为正整数，

则（2a-1）²+24×3¹⁰必为平方数，

所以（2a-1）²=3¹⁰，a=122，

代入得，k=486

故答案为：486．

点评：

本题考点： 等差数列的前n项和．

考点点评： 本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误．