Question

设A ,D是可逆矩阵,B ,C是幂零矩阵,证明分块矩阵 A B 可逆.C D

Answer 1

设[A B [A^{-1} X [E O

C D]乘以 Y D^{-1}]等于 O E]

直接计算左边并与右边比较可得X=-A^{-1}BD^{-1},Y=-D^{-1}CA^{-1}

由此可知原分块矩阵可逆,其逆矩阵为

[A^{-1} -A^{-1}BD^{-1}

-D^{-1}CA^{-1} D^{-1}]