已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b， - 知识问答

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．它的外接圆半径为6．∠B，∠C和△ABC的面积S满足条件：S=a2

1个回答

解题思路：（1）△ABC的面积S满足条件：S=a²-（b-c）²从而求出sinA=4（1-cosA）即可解得sinA的值；
（2）sinB+sinC=[4/3]．外接圆半径为6从而可求得b+c=16，故
S＝
1
2
bcsinA＝
4
17
bc
，当b=c=8时，
S
最大
＝
256
17
．
（1）S=a²-b²-c²+2bc
=2bc-2bccosA
=2bc（1-cosA）．
又S＝
1
2bcsinA
∴2bc(1−cosA)＝
1
2bcsinA⇒sinA=4（1-cosA）
联立得：
sin2A+cos2A＝1
sinA＝4(1−cosA)
得：16（1-cosA）²+cos²A=1⇒（17cos²A-15）（cosA-1）=0
∵0＜A＜π，
∴cosA-1≠1
∴cosA＝
15
17从而得：sinA＝
8
17
（2）S＝
1
2bcsinA＝
4
17bc
∵sinB+sinC＝
4
3，
∴[b/2R+
c
2R＝
4
3]
∵R=6，
∴b+c=16
∴S＝
4
17bc＝
4
17b(16−b)＝−
4
17(b2−16b)＝−
4
17(b−8)2+
256
17
∴当b=c=8时，S最大＝
256
17．
点评：
本题考点：余弦定理的应用．
考点点评：本题主要考察了正弦定理，余弦定理，二次函数的图象和性质以及三角形面积公式的综合应用，属于中档题．

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